Chirp Z変換

ここを読めば、大体わかる

具体的に考える

記事とは少し文字が異なるが

$ y(l)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) \exp \left(-2 \pi i \frac{k l}{N}\right)

を変形した

$ y(l)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) W^{kl}_{N}

を問題にする

1. 新しく数列を2つ考える

$ y(l)=\sum_{n=0}^{N-1} x(k) W_{N}^{-\frac{(l-k)^{2}}{2}+\frac{l^{2}}{2}+\frac{k^{2}}{2}}=W_{2 N}^{l^{2}} \sum_{n=0}^{N-1}\left\{x(k) W_{2 N}^{k^{2}}\right\} W_{2 N}^{-(l-k)^{2}}

を参考に、以下の数列を定める

$ \alpha_{k} =x(k) W_{2 N}^{k^{2}}

$ \beta_{k}=W_{2 N}^{-k^{2}}

3. 0 paddingする

以下を参考に0padする。

$ \alpha_{l}^{\prime}=\left\{\begin{array}{ll}{l} & {(0 \leq l<N)} \\ {0} & {(N \leq l<L)}\end{array}\right.

$ \left\{\begin{aligned} \beta_{0}^{\prime} &=\beta_{0} \quad(l=0) \\ \beta_{l}^{\prime}=\beta_{L-l}^{\prime} &=\beta_{l} \quad(0<l<N) \\ \beta_{l}^{\prime} &=0 \quad(N \leq l \leq L-N) \end{aligned}\right.

具体的に考えると以下のようになる

$ \alpha=\{0,1,2,3,4,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0\}

$ \beta=\{ \beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3,\beta_4,0,0,0,0,0,0,0,\beta_4,\beta_3,\beta_2,\beta_1 \}

参考